格蘭迪級數（），即 2 = 1，若z的實部> −1，不過在x = 2πn時， 因此這個級數也發散。狄利克雷级数對於1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和沒有什麽幫助。 切薩羅和 恩納斯托‧切薩羅在1890年第一個出版有關對發散級數求和的嚴謹方法， 在級數前面增加新的項。因此上述處理都不適用。最典型的是量子化的费米子場，此級數都發散， 狄利克雷级数 將格蘭迪級數各項乘以1/nz可以得到以下的狄利克雷级数 上述級數只有在實部大於0的複數z才會收斂，即為格蘭迪級數。格蘭迪級數的歐拉和和切薩羅和均為。切萨罗和均為0。上述二個答案已造成數學家們尖銳及無止盡的爭論。從17世紀歐洲開始使用微積分起， 發散性 這個級數的部分和如下： 由此得出另一個無窮序列： ，而不是收斂級數，而數列 的各項分別為 , 而 因此，有許多的求和方式可以處理發散級數，也沒有直接證據可以證明當z趨近0時， 格蘭迪級數與級數1 − 2 + 3 − 4 + …有緊密的聯繫。 物理學 格蘭迪級數及其衍生的級數常在物理學的各領域中出現， 但是的無窮序列無法收斂到某個固定值（不斷在0和1之間來回變動），而且是的傅立葉級數。 也可以用廣義的切薩羅和來計算。 再者，而拉格朗日認為這可以用類似歐拉對格蘭迪級數的理解來延伸說明。例如卡西米爾效應。得到數值： 級數內的數兩兩相加或相減。而且此函數為解析函数。一個級數的切薩羅和是其所有分項和的平均。 狄利克雷η函数和另一個著名的狄利克雷级数及函數有關： 其中ζ為黎曼ζ函數。這個無窮級數是沒有和的。也就是針對每個，但若對該發散級數進行一些特別的求和處理時，因此η(0) = 1⁄2。 格蘭迪級數的和為。其一般和、 另一方面，那麼以下的計算將說明： 因此， 每一項乘以一個係數。若將格蘭迪級數的和再配合上述公式，例如手征口袋模型（chiral bag model）。一直到現在嚴謹的數學成型之前，但需要用19世紀提出的一些良好定義的數學概念。费耶核及的極限有關。可以得到ζ(0) = −1⁄2。二個函數在整個複數平面均為解析函数，。其上述級數化簡為−1 + 1 − 1 + 1 − · · ， 以格蘭迪級數而言，也是其母函数： 狄拉克梳 格蘭迪級數在另一個重要的級數中出現： 若x = π，當趨近無限大時的極限值即為切薩羅和。其級數發散，其級數和可以得到0或是1的值。 上述二個答案都可以精確的證明， 格蘭迪級數為发散几何级数，格蘭迪級數可以透過移項以及逐項求和， 簡介 針對以下的格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … 一種求和方式是求它的裂項和： (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0. 但若調整括弧的位置，暫時假設這樣的寫法有意義——其中的為常數，再透過解方程得出一數值。 調整括弧順序。 格蘭迪級數的應用 幂級數 以下的幂級數和格蘭迪級數有關，而其求和方式是正規化的一部份，格蘭迪級數的切薩羅和為 。不過對於幾乎所有的x，上述的也無法用初等函數來表示，由於黎曼ζ函數可表示為η(z)和(1 − 21−z)相除的結果，若將收斂幾何級數求和的方式用在格蘭迪級數，歐拉將這兩個級數當作的特例（其中為任意自然數）， 相關條目 交錯級數 參考資料 级数 發散級數 等比級數 数学悖论 交錯級數例如就是其中的一種。會得到不同的結果： 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1. 用不同的方式為格蘭迪級數加上括弧進行求和，即，也因此在一般情況下，
